解Xn-1/Xn=2n,求Xn=? 高一数列问题.

一、解Xn-1/Xn=2n,求Xn=? 高一数列问题.

X(n-1)/X(2n)=2n(???)--->

X(n)=2nX(n-1)

X(n-1)=2(n-1)X(n-2)

X(n-2)=2(n-1)X(n-3)

..................

X2=2X1

X1=a (此处是笔者所添加.)

把这n个等式的两边分别相乘,得到

Xn=a*2^(n-1)*n!

如果给足了初始条件,例如X1=2,就可以得到Xn=2^n*n!=(2n)!!

1/2N

Xn-1/Xn=2n,求Xn等于什么,用含n的代数式表示.

Xn=X(n-1)/(2n)=X(n-2)/[2n*2(n-1)]=...=X1/[2n*2(n-1)*...*(2*3)*(2*2)]

=X1/[2^(n-1)*n!]

Xn-1/Xn=2n

Xn-1＝2nXn

（１-2n）Xn＝１

Xn＝１/（１-2n）

二、高二数学（4）

（1）。 1.设fn(x)=x^n+x-1==>fn"(x)=nx^(n-1)+1,则当x>0时，

fn(x)递增，即只可能有1个根。

2。当n≥2时，（1+1/n）^n0，所以当n≥2时

fn(x)在（（1+n）^（-1/n），n/n+1）有1个根，即

(Xn)^n＋(Ｘn)-1=0，（1+n）^（-1/n）0==》

Ｘn-Ｘ（n-1）>0==》数列{Xn}单调递增。

三、设x1 x2 ……xn属于R+ x1+x2+……+xn=1求

设x1 x2 ……xn属于R+ 且x1+x2+……+xn=1求证

x1^2/(1+x1)+x2^2/(1+x2)+……+xn^2/(1+xn)≥1/(n+1) (1)

证明 据柯西不等式得:

(1+x1+1+x2+…1+xn)*[x1^2/(1+x1)+x2^2/(1+x2)+……+xn^2/(1+xn)]≥(x1+x2+…+xn)^2

(1+n)*[x1^2/(1+x1) +x2^2/(1+x2)+……+xn^2/(1+xn)]≥1

x1^2/(1+x1) +x2^2/(1+x2)+……+xn^2/(1+xn)≥1/(1+n).

为何重复提问？

不等式(1)等价于

n/(n+1)>=x1/(1+x1)+x2/(1+x2)+……+xn/(1+xn) (2)

1/(1+x1)+1/(1+x2)+……+1/(1+xn)>=n^2/(n+1) (3)

四、数列{Xn}X1=a0

1. 用数学归纳法证明：

(1) 当n=2时，x2 = (1/2)(x1+a/x1) = (a+1)/2 ≥√a 成立；

(2) 假设当n=k时，xk ≥√a 成立，则必有 xk > 0

于是 x(k+1) = (1/2)(xn+a/xn) ≥ √(xn*a/xn) = √a 也成立

由(1)(2)据数学归纳法原理，得 对n≥2, 总有Xn≥√a

2. 用比较法证明：

对n≥2，结合 1 证得的结论，可得

xn - x(n+1) = xn - (1/2)(xn+a/xn)

= xn/2 - a/(2xn)

≥ (√a)/2 - a/(2√a)

= 0

故 对n≥2, 总有Xn≥X(n+1)

证明:1,对n≥2,总有Xn≥√a

2,对n≥2,总有Xn≥X(n+1)